약수 함수

약수 함수(Divisor function)는 특수함수의 하나로, 정의는 다음과 같다.

즉, 어떤 자연수의 약수를 $s$제곱한 것을 모두 더한 것을 함숫값으로 내놓는 함수이다. 특히 $s=1$인 경우, 이 함수는 $n$의 모든 약수들의 합을 내놓는다. $s=0$인 경우 약수의 개수를 내놓는다.

가장 많이 쓰이는 용도는 완전수/부족수/과잉수 판별로, 이들은 진약수의 합이 어떤가에 따라 집합이 갈리기 때문이다. 덤으로 이를 이용해 소수를 정의하면 1이 소수가 아니라고 깔끔하게 정의된다.

$\sigma_1(n)$은 일반화된 오각수[1]를 사용해서 구할 수도 있다.
$\sigma_1(n)=\sigma_1(n-1)+\sigma_1(n-2)-\sigma_1(n-5)-\sigma_1(n-7)+...$인데 다만 $\sigma_1(0)$자리엔 대신 n을 써야 성립한다.

$s$에 복소수가 들어갈 수 있기 때문에, 복소수 $s$에 대해서는 정의가 다음과 같이 바뀐다.

${\rm cis}$는 허수지수함수, $\ln$은 자연로그, $\Re, \Im$는 각각 복소수의 실수부와 허수부를 뜻한다.